数字趣谈：不存在的数字
数字趣谈：不存在的数字
Arttrain
小学时候学习数学循环小数的时候就发现一个问题，一直困惑至今。那就是关于0.9999……，而对于有些人来说这不是个问题。近日在网上检索后发现大部分的论证都是不完善的甚至错误的。不是论证本身的问题。而是逻辑的问题和关于数字本质的问题——我认为是一个关于数字本体论的问题和哲学问题。我将问题的发现和研究过程整理在下,供数学爱好者分享和指正。
我二年级的时候得到一本叫做《小学数学奥林匹克》的课外书，经常翻阅，这本书伴随我度过整个小学学时光。其中讲到神奇的循环小数一节：
1÷7=0.142857142857……
2÷7=0.285714285714……
3÷7=0.428571428571……
4÷7=0.571428571428……
5÷7=0.714285714285……
6÷7=0.857142857142……
书中为了说明数字的神奇，列出了这些等式。仔细看就会发现，每个循环节都是由“142857”中的数字圆圈来构成，不过小数点后第一个数字选定后，就以那个数字为头开始依次循环。由于这个方法的运用我后来找到了论证梅森数的新思路，这里不展开。这里主要讨论数字本体论问题。
当然很容易发现其中有一个情况：
这当然是当时的猜想。当时我问数学老师，老师告诉我这个是极限问题。等到我学了极限知识之后我又想到这个问题，我发现这不是个简单的极限问题。虽然我知道怎么证明，但是仍然没有办法解决它。
原因如下：
证明思路很简单：我们来构造一个数字，假设他就是0.9（无限循环），那么我们可以构成一个等比数列，首项为0.9，第二项为0.09，第三项为0.009，无限下去，然后我们通过数列各项和公式可以算出等于0.99999……的数字。如下：
我的科学的构造失败了，并没有得出0.9999……，而是得到了1——即它不能在数学中实现其自身。而这过程至少被绝大多数人认为是合理地论证了：0.9999……=1 。而我则不这样认为，因为当我们用同样的思路构造0.1……、0.2……、……、0.8……，都可以成功。只有0.9999……这个失败。不能因为这个数“太接近1”而把它等于1了。原因如下：
任何一个数字都是表示一个值，在数轴上一定有且只能只有一个点和它对应。而且每个实字都有自己的类型。分为有理数和无理数。有理数包括：整数、分数（小数）两种形式，而无理数则不能表示为分数的形式。整数也是分数的特殊形式，那么所有的数就分为：
分数 （包括 有限小数、无限循环小数、整数）
无理数 （无限不循环小数，如根号2 ，圆周率）
值得注意的是，分数是可以分解和合并转换他形式的。小数可以转化为分数，分数也可以转化为小数，整数是分数的一种形式。而且是必定可以。为了后面的叙述方便，把一种复杂形式转换为简单形式称之为“构造”一个数，把一个简单形式转换为复杂表达式称之为“分解”一个数字。
例如：0.78+0.22=1，可以表述为“用0.78和0.22构造数字1”
反之：1=0.5×2， 可以表述为“1被分解为0.5×2的表达形式。
可以看出所有分数都可以进行这两项操作。除了0.9999……。因为无论通过加、减、乘、除，还是极限、还是函数都无法构造或者分解它为其它的分数
这个问题在民间已经演变成了比较0.9999……和1的大小的比较问题。当然其结果就很不靠谱了。比如比较经典的结论关系为：不大于、不小于、不等于、和等于。不外乎用各种数字和或者积来计算并通过代换得出结论。主要通过归纳法。
值得一说的是其中有一个有趣的论证：
因为：1的个位数是1，
0.9999……的个位数是0，
又因：1大于0
所以：1大于0.999……。
这个论证简单得让人不敢相信，甚至有点恐慌。但是论证过程没有任何问题。这个论证是正确的——但并不是说它的结论是正确的。我将在后面用非常规手段来证明我的观点。
问题如下：首先这个数字不能被分解和构成，其次它在数轴上没有与之对应的点。而其他任何一个数字包括无理数都可以符合这两个条件。尽管欧洲的数学家已经接受这个等式，他们在课堂上像用我前面的数列方式来演示证明过程。但是我认为就其不能在数学中实现其自身的意义上讲是讲不通的。
那么迫使我的理智进行了如下猜想：它必定不是一个数字。
那么就按照这个思路来证明。这个问题就是“如何证明一个数字是合法的”。数字本体论问题。由于数字是抽象的，但是它一定可以还原为现实性的。如通过多年思考，采用了下面的方法来说明一个数字是如何的被构成极其合法性。
应该重提，数学是测量工具，它旨在通过自己制定好的一个单位1，来衡量其他的量。
比如现在的1米的概念。1875年5月20日由法国政府出面，召开了20个国家政府代表会议，正式签置了米制公约，公认米制为国际通用的计量单位。同时决定成立国际计量委员会和国际计量局。到1985年10月止，米制公约成员国已有47个。我国于1977年加入该公约。
国际计量局经过几年的研究，用含铂90%、铱10%的合金精心设计和制成了30根横截面呈X琪的米原器。这种形状最坚固又最省料，铂铱合金的特点则是膨胀系数极小。这30根米原器分别跟铂质米原器比对，经过遴选，取其中一根作为国际米原器。1889年，国际计量委员会批准了这项工作，并且宣布：1米的长度等于这根截面为X形的铂铱合金尺两端刻线记号间在冰融点温度时的距离。其他长度如果用米做单位原则上就需要同这个长度进行比较。他就是米制单位的“单位1”。
长度单位如果用我国的“市尺”的话就不一样了。就是以“市尺”为单位1的。
制定好单位1后，还需要制定进制才能进行测量和标记。比如我国古代有十六进制来计算重量的进制，计算机以2进制为内核计算。
因此，要形成一个数字就有两个基本步骤：
确定单位1
确定进制
把要测量的内容和这个“单位1进行比较”按照进制规则表达“这一被测量内容”。结果就是一个数字。
那么我就以十进制为例子。来演绎一个数字的构成和合法性。
这个图的作用是：把数字具体化形象化。具体称可以看见的量。这个图表示的是十进制每个进制位数上的数量。根据十进制要求，红色那块是“单位1”那一列是个位，左边是一列是十位，如果再往左就是百位、……。小数点后右边是十分位、百分位、千分位、万分位、……。中间的数字仅仅表示序列——每一列有9个容器（每个十进制数字的一个位上最大可以标注到9，图中1——9表示可以产生的最大数字和格子高度关系）。横线下面是用阿拉伯数字标注上面的量。每个位上的1个方块相当于它下一更低位上的10个方块的容量，同理每个位上的1个方块的10倍就等于它的更高位上的1个方块。那么当一个“量”拿来用这些格子中的“单位1”来衡量时将必须按照下面的规则来进行（为了叙述方面我们把需要衡量的这个“量”叫做比较量，每个单独的格子称之为1个位单位每一列的9个格子的容量总和称为位容量：
10进制测量程序和规则：
把这“比较量”放到任何一列
（1）当：比较量≥位容量+1个位单位
那么：比较量就必须向左边更高位去比较——简称左移。
（2）当：位容量+1个位单位＞比较量≥1个位单位
那么：就从这个进位开始测量。
（3） 测量方法：
A :满1个位单位的算1个格子。满几个算几个；
B:多余的（不足1个位单位的）部分作为新的“比较量”，右移测量。测量方法同上。
（4） 循环上述程序，同时用阿拉伯标注每个位上的格子数。
下面我们具两个例子来“构造数字”。
首先，我如果用刚好单位1的20倍又“5分之2”的量即20.4，进去测量。
我们发现，当20，放到小数点左边第二位——十位上的的时候，才满足条件（2）
即：位容量+1个位单位＞比较量≥1个位单位。然后刚好填满两个格子。多出的那个“单位1的5分之2”小于个位数的1个位容量，根据“规则（2）和规则（3）B”,这个在十位要右移测量，在个位还要右移测量。最后在小数点后第一位即十分位上可以满足“规则（2）”，可以被测量了。在十分位上刚好放满4个格子，=0.4。如下：
这就算是用“十进制测量规则”在规定单位1的情况下测量了“比较量20又5分2”，符合测量程序的，最终标注为20.4。这个数字是合法的。
下面我们来测量一个数字就是3分之1。首先是通过不断尝试，比较量3分之1放入小数点后第一位即十分位上开始测量，符合测量程序。这个的意思是：单位1，分成10份，这10份要分成3份，不能平均，把每3分并在一起分成3堆后我们取1堆，刚好填满十分位上3个容器，多出的部分是分出的10份中的1份，我们仍然要取出这多出的1份的3分之1和前面的3个十分位容器量并在一起才算是真正的3分之1（前面是0.3，我们不是要0.3，而是要3分之1）才算，根据测量程序（3）B，多出的部分要右移测量，注意这时候多出的那1份完整的部分右移后又要分成10份。于是右移后又要重复程序（3）B。因此就会无限地右移，而下面的标注就显示为：0.33333……。这个无限循环小数，如图
从上面的例子可以看出我们已经制作了一个可以将十进制形象化视觉化的过程。并且数字的产生可以通过这个工具来还原量化过程为标注数字。而且有了严格的测量规则和测量程序。有了这个工具，我们就可以去考验和测量“0.9999……”这个标注要在什么情况下发生。
通过不断尝试和假设，我无法将“某比较量”在符合规则的情况下放入后产生这样的数字。唯一的一种可能就是，把单位1拆开强制右移动到小数点后1位强制测量，才能产生这种效果。
因为： 单位1拆开后是10个“十分位单位”，
但是： “十分位”上的位容量只有9个位单位，
并且： 多出来的是“1个十分位完整单位”
又： 当且仅当：多出来的是“1个十分位完整单位”时才可以在后面被无限制地填满9个格子，否则就会在某处填不满9个格子。
故： “0.99999……”违背了程序规则（1），应当在十分为上左移测量。却错误地往右移了。
所以： 一直错下去就造成了这个数字（根据其样子暂且这么说）的书写形式其实是没有根基的——它违背了十进制测量程序和里面的法则——它并不是一个数字。
注：我认为我的证明已经结束了。但是还想补充一点，即有人会问，难道就没有这样的差1点点就是1的数字？这个就不用回到极限了，看下双曲线无线靠近0轴但是永远不可能达到0，这才是极限。其实就是证明面，“多出来的其实是“1个十分位完整单位”。只要证明每一次多出来的那部分刚好其实就是更低位上的1个位单位。我认为，每次都能保证（由于是无限的9）能够右边并填充满9更低位位容量，就只有当且仅当多出的部分刚好是次级位上的1个位单位时才能实现。（其他的循环小数，不管是无限循环还是无线不循环小数总是有填不满9个格子的时候，不可能出现全部填满的时候）。
然而我不能对上面一段话进行现有的已经知道的论证方法的论证。因此才有了本文。我猜想，这里涉及到人类理性和逻辑的盲区。我无法给出书面证明过程，我只能描述，而且我认为我描述清楚了：它是一个非法的数学表达。值得一说的是，只要把大于或者等于1的量强制右移都会产生这个效果。如图
我和20几位学专业数学的朋友谈论和展示过本文。他们中只有1人认为我的论证是正确的，并认为目前在数学领域无法证明，他学哲学和数学，他说如果罗素没死的话可能会支持我。而其他的人始终冒着众多的民间的理性质疑坚持宣称：这个问题已经解决了。为此我并没有感到沮丧，因为我知道我坚持的是什么。
如果一定要证明，就只能得到下面的结论：1和0.9999之间的关系是：不大于，等于，不小于。具有三种结果。因此我花了几个月的时间想出了下面的证明方法。
设： x÷ y = 0.99999……
求： x和y
解题思路：由于"x÷ y = 0.99999……"式中，将其列入除法手算中，由于第一个商为零，第二个商的位置商为9，并且接下来的10x-9y的余数后面可以继续和无限制地商9，那么10x-9y的余数必定是等于x，否则后面就不能继续商9.如下图方程来源：
解： 10x-9y=x
9x=9y
x=y
显然：只要满足 x=y,原题设“x÷ y = 0.99999……”即可成立。
又，当x=y时，第一位商应该为1，并同时没有余数计算结束。
又，原题设中x和y可以为任意数（包括有理数和无理数），而只有0.9999……是给定项；
即：常数0.99999……，与任意数没有任何关系；
又：构造它必须违反数学演算规则。
故，0.99999……是错误的表达。
即关于变量x、y的函数 “x÷ y = 0.99999……”在数学范围内不可以理解，缺乏意义。
故：0.9999……的书写方式是非法的数学表达。
后记：这个问题之所以长时间被误解和搁置主要是因为它本来就不是数字，所以没有人任何实际的数学演算包括推理会涉及到，而只能在数学领域被先验地假设，这势必造成假设出不存在的数字表达。
Arttrain
小学时候学习数学循环小数的时候就发现一个问题，一直困惑至今。那就是关于0.9999……，而对于有些人来说这不是个问题。近日在网上检索后发现大部分的论证都是不完善的甚至错误的。不是论证本身的问题。而是逻辑的问题和关于数字本质的问题——我认为是一个关于数字本体论的问题和哲学问题。我将问题的发现和研究过程整理在下,供数学爱好者分享和指正。
我二年级的时候得到一本叫做《小学数学奥林匹克》的课外书，经常翻阅，这本书伴随我度过整个小学学时光。其中讲到神奇的循环小数一节：
1÷7=0.142857142857……
2÷7=0.285714285714……
3÷7=0.428571428571……
4÷7=0.571428571428……
5÷7=0.714285714285……
6÷7=0.857142857142……
书中为了说明数字的神奇，列出了这些等式。仔细看就会发现，每个循环节都是由“142857”中的数字圆圈来构成，不过小数点后第一个数字选定后，就以那个数字为头开始依次循环。由于这个方法的运用我后来找到了论证梅森数的新思路，这里不展开。这里主要讨论数字本体论问题。
当然很容易发现其中有一个情况：
这当然是当时的猜想。当时我问数学老师，老师告诉我这个是极限问题。等到我学了极限知识之后我又想到这个问题，我发现这不是个简单的极限问题。虽然我知道怎么证明，但是仍然没有办法解决它。
原因如下：
证明思路很简单：我们来构造一个数字，假设他就是0.9（无限循环），那么我们可以构成一个等比数列，首项为0.9，第二项为0.09，第三项为0.009，无限下去，然后我们通过数列各项和公式可以算出等于0.99999……的数字。如下：
我的科学的构造失败了，并没有得出0.9999……，而是得到了1——即它不能在数学中实现其自身。而这过程至少被绝大多数人认为是合理地论证了：0.9999……=1 。而我则不这样认为，因为当我们用同样的思路构造0.1……、0.2……、……、0.8……，都可以成功。只有0.9999……这个失败。不能因为这个数“太接近1”而把它等于1了。原因如下：
任何一个数字都是表示一个值，在数轴上一定有且只能只有一个点和它对应。而且每个实字都有自己的类型。分为有理数和无理数。有理数包括：整数、分数（小数）两种形式，而无理数则不能表示为分数的形式。整数也是分数的特殊形式，那么所有的数就分为：
分数 （包括 有限小数、无限循环小数、整数）
无理数 （无限不循环小数，如根号2 ，圆周率）
值得注意的是，分数是可以分解和合并转换他形式的。小数可以转化为分数，分数也可以转化为小数，整数是分数的一种形式。而且是必定可以。为了后面的叙述方便，把一种复杂形式转换为简单形式称之为“构造”一个数，把一个简单形式转换为复杂表达式称之为“分解”一个数字。
例如：0.78+0.22=1，可以表述为“用0.78和0.22构造数字1”
反之：1=0.5×2， 可以表述为“1被分解为0.5×2的表达形式。
可以看出所有分数都可以进行这两项操作。除了0.9999……。因为无论通过加、减、乘、除，还是极限、还是函数都无法构造或者分解它为其它的分数
这个问题在民间已经演变成了比较0.9999……和1的大小的比较问题。当然其结果就很不靠谱了。比如比较经典的结论关系为：不大于、不小于、不等于、和等于。不外乎用各种数字和或者积来计算并通过代换得出结论。主要通过归纳法。
值得一说的是其中有一个有趣的论证：
因为：1的个位数是1，
0.9999……的个位数是0，
又因：1大于0
所以：1大于0.999……。
这个论证简单得让人不敢相信，甚至有点恐慌。但是论证过程没有任何问题。这个论证是正确的——但并不是说它的结论是正确的。我将在后面用非常规手段来证明我的观点。
问题如下：首先这个数字不能被分解和构成，其次它在数轴上没有与之对应的点。而其他任何一个数字包括无理数都可以符合这两个条件。尽管欧洲的数学家已经接受这个等式，他们在课堂上像用我前面的数列方式来演示证明过程。但是我认为就其不能在数学中实现其自身的意义上讲是讲不通的。
那么迫使我的理智进行了如下猜想：它必定不是一个数字。
那么就按照这个思路来证明。这个问题就是“如何证明一个数字是合法的”。数字本体论问题。由于数字是抽象的，但是它一定可以还原为现实性的。如通过多年思考，采用了下面的方法来说明一个数字是如何的被构成极其合法性。
应该重提，数学是测量工具，它旨在通过自己制定好的一个单位1，来衡量其他的量。
比如现在的1米的概念。1875年5月20日由法国政府出面，召开了20个国家政府代表会议，正式签置了米制公约，公认米制为国际通用的计量单位。同时决定成立国际计量委员会和国际计量局。到1985年10月止，米制公约成员国已有47个。我国于1977年加入该公约。
国际计量局经过几年的研究，用含铂90%、铱10%的合金精心设计和制成了30根横截面呈X琪的米原器。这种形状最坚固又最省料，铂铱合金的特点则是膨胀系数极小。这30根米原器分别跟铂质米原器比对，经过遴选，取其中一根作为国际米原器。1889年，国际计量委员会批准了这项工作，并且宣布：1米的长度等于这根截面为X形的铂铱合金尺两端刻线记号间在冰融点温度时的距离。其他长度如果用米做单位原则上就需要同这个长度进行比较。他就是米制单位的“单位1”。
长度单位如果用我国的“市尺”的话就不一样了。就是以“市尺”为单位1的。
制定好单位1后，还需要制定进制才能进行测量和标记。比如我国古代有十六进制来计算重量的进制，计算机以2进制为内核计算。
因此，要形成一个数字就有两个基本步骤：
确定单位1
确定进制
把要测量的内容和这个“单位1进行比较”按照进制规则表达“这一被测量内容”。结果就是一个数字。
那么我就以十进制为例子。来演绎一个数字的构成和合法性。
这个图的作用是：把数字具体化形象化。具体称可以看见的量。这个图表示的是十进制每个进制位数上的数量。根据十进制要求，红色那块是“单位1”那一列是个位，左边是一列是十位，如果再往左就是百位、……。小数点后右边是十分位、百分位、千分位、万分位、……。中间的数字仅仅表示序列——每一列有9个容器（每个十进制数字的一个位上最大可以标注到9，图中1——9表示可以产生的最大数字和格子高度关系）。横线下面是用阿拉伯数字标注上面的量。每个位上的1个方块相当于它下一更低位上的10个方块的容量，同理每个位上的1个方块的10倍就等于它的更高位上的1个方块。那么当一个“量”拿来用这些格子中的“单位1”来衡量时将必须按照下面的规则来进行（为了叙述方面我们把需要衡量的这个“量”叫做比较量，每个单独的格子称之为1个位单位每一列的9个格子的容量总和称为位容量：
10进制测量程序和规则：
把这“比较量”放到任何一列
（1）当：比较量≥位容量+1个位单位
那么：比较量就必须向左边更高位去比较——简称左移。
（2）当：位容量+1个位单位＞比较量≥1个位单位
那么：就从这个进位开始测量。
（3） 测量方法：
A :满1个位单位的算1个格子。满几个算几个；
B:多余的（不足1个位单位的）部分作为新的“比较量”，右移测量。测量方法同上。
（4） 循环上述程序，同时用阿拉伯标注每个位上的格子数。
下面我们具两个例子来“构造数字”。
首先，我如果用刚好单位1的20倍又“5分之2”的量即20.4，进去测量。
我们发现，当20，放到小数点左边第二位——十位上的的时候，才满足条件（2）
即：位容量+1个位单位＞比较量≥1个位单位。然后刚好填满两个格子。多出的那个“单位1的5分之2”小于个位数的1个位容量，根据“规则（2）和规则（3）B”,这个在十位要右移测量，在个位还要右移测量。最后在小数点后第一位即十分位上可以满足“规则（2）”，可以被测量了。在十分位上刚好放满4个格子，=0.4。如下：
这就算是用“十进制测量规则”在规定单位1的情况下测量了“比较量20又5分2”，符合测量程序的，最终标注为20.4。这个数字是合法的。
下面我们来测量一个数字就是3分之1。首先是通过不断尝试，比较量3分之1放入小数点后第一位即十分位上开始测量，符合测量程序。这个的意思是：单位1，分成10份，这10份要分成3份，不能平均，把每3分并在一起分成3堆后我们取1堆，刚好填满十分位上3个容器，多出的部分是分出的10份中的1份，我们仍然要取出这多出的1份的3分之1和前面的3个十分位容器量并在一起才算是真正的3分之1（前面是0.3，我们不是要0.3，而是要3分之1）才算，根据测量程序（3）B，多出的部分要右移测量，注意这时候多出的那1份完整的部分右移后又要分成10份。于是右移后又要重复程序（3）B。因此就会无限地右移，而下面的标注就显示为：0.33333……。这个无限循环小数，如图
从上面的例子可以看出我们已经制作了一个可以将十进制形象化视觉化的过程。并且数字的产生可以通过这个工具来还原量化过程为标注数字。而且有了严格的测量规则和测量程序。有了这个工具，我们就可以去考验和测量“0.9999……”这个标注要在什么情况下发生。
通过不断尝试和假设，我无法将“某比较量”在符合规则的情况下放入后产生这样的数字。唯一的一种可能就是，把单位1拆开强制右移动到小数点后1位强制测量，才能产生这种效果。
因为： 单位1拆开后是10个“十分位单位”，
但是： “十分位”上的位容量只有9个位单位，
并且： 多出来的是“1个十分位完整单位”
又： 当且仅当：多出来的是“1个十分位完整单位”时才可以在后面被无限制地填满9个格子，否则就会在某处填不满9个格子。
故： “0.99999……”违背了程序规则（1），应当在十分为上左移测量。却错误地往右移了。
所以： 一直错下去就造成了这个数字（根据其样子暂且这么说）的书写形式其实是没有根基的——它违背了十进制测量程序和里面的法则——它并不是一个数字。
注：我认为我的证明已经结束了。但是还想补充一点，即有人会问，难道就没有这样的差1点点就是1的数字？这个就不用回到极限了，看下双曲线无线靠近0轴但是永远不可能达到0，这才是极限。其实就是证明面，“多出来的其实是“1个十分位完整单位”。只要证明每一次多出来的那部分刚好其实就是更低位上的1个位单位。我认为，每次都能保证（由于是无限的9）能够右边并填充满9更低位位容量，就只有当且仅当多出的部分刚好是次级位上的1个位单位时才能实现。（其他的循环小数，不管是无限循环还是无线不循环小数总是有填不满9个格子的时候，不可能出现全部填满的时候）。
然而我不能对上面一段话进行现有的已经知道的论证方法的论证。因此才有了本文。我猜想，这里涉及到人类理性和逻辑的盲区。我无法给出书面证明过程，我只能描述，而且我认为我描述清楚了：它是一个非法的数学表达。值得一说的是，只要把大于或者等于1的量强制右移都会产生这个效果。如图
我和20几位学专业数学的朋友谈论和展示过本文。他们中只有1人认为我的论证是正确的，并认为目前在数学领域无法证明，他学哲学和数学，他说如果罗素没死的话可能会支持我。而其他的人始终冒着众多的民间的理性质疑坚持宣称：这个问题已经解决了。为此我并没有感到沮丧，因为我知道我坚持的是什么。
如果一定要证明，就只能得到下面的结论：1和0.9999之间的关系是：不大于，等于，不小于。具有三种结果。因此我花了几个月的时间想出了下面的证明方法。
设： x÷ y = 0.99999……
求： x和y
解题思路：由于"x÷ y = 0.99999……"式中，将其列入除法手算中，由于第一个商为零，第二个商的位置商为9，并且接下来的10x-9y的余数后面可以继续和无限制地商9，那么10x-9y的余数必定是等于x，否则后面就不能继续商9.如下图方程来源：
解： 10x-9y=x
9x=9y
x=y
显然：只要满足 x=y,原题设“x÷ y = 0.99999……”即可成立。
又，当x=y时，第一位商应该为1，并同时没有余数计算结束。
又，原题设中x和y可以为任意数（包括有理数和无理数），而只有0.9999……是给定项；
即：常数0.99999……，与任意数没有任何关系；
又：构造它必须违反数学演算规则。
故，0.99999……是错误的表达。
即关于变量x、y的函数 “x÷ y = 0.99999……”在数学范围内不可以理解，缺乏意义。
故：0.9999……的书写方式是非法的数学表达。
后记：这个问题之所以长时间被误解和搁置主要是因为它本来就不是数字，所以没有人任何实际的数学演算包括推理会涉及到，而只能在数学领域被先验地假设，这势必造成假设出不存在的数字表达。
很长看了一半。晚上接着看。
太牛逼了！前面的没怎么看懂，但是我隐约觉得楼主是个牛逼的人。对于后面的论证我是认可的。顶
lz是一牛人。该文应载入哲学和数学史。
顶顶顶
先顶起来，慢慢看
